1．【教材呈現】下面是華師版教材九年級上冊52頁的部分內容：

我們可以發(fā)現，當兩條直線與一組平行線相交時，所截得的線段存在一定的比例關系： AD DB = FE EC ．這就是如下的基本事實： 兩條直線被一組平行線所截，所得的對應線段成比例．（簡稱“平行線分線段成比例”）

【問題原型】如圖①，在矩形ABCD中，點E為邊AB的中點，過E作EF∥AD交邊DC于點F，點P、Q分別在矩形的邊AD、BC上，連結PQ交EF于點M．
求證：PM=QM．

【結論應用】如圖②，在【問題原型】的基礎上，點R在邊BC上（不與點Q重合），連結PR交EF于點N．
（1）若MN=4，則線段QR的長為 ；
（2）當點Q與點B重合，點R與點C重合時，如圖③，若AB=6，BC=8，連結CM，則△QMC周長的最小值為 ．

2．綜合與探究：已知：如圖①，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8cm,BC=6cm,點P由B出發(fā)沿BA方向向點A勻速運動，速度為1cm/s；點Q由A出發(fā)沿AC方向向點C勻速運動，速度為2cm/s；連接PQ．若設運動的時間為t（s）（0＜t＜4），解答下列問題：
（1）當AP=AQ時，求t的值；
（2）點P，Q同時出發(fā)，t為何值時，以A，P，Q為頂點的三角形與△ABC相似；
（3）如圖②，連接PC，并把△PQC沿QC翻折，得到四邊形PQP'C，那么是否存在某一時刻t,使四邊形PQP'C為菱形？若存在，直接寫出此時t的值；若不存在，說明理由．（不寫求解過程）

3．閱讀下面材料，完成以下兩問：
數學課上，老師出示了這樣一道題．如圖，△ABC中，D為BC中點，且AD=AC，M為AD中點，連接CM并延長交AB于N．探究線段AN、MN、CN之間的數量關系，并證明．
同學們經過思考后，交流了自己的想法：
小明：“通過觀察和度量，發(fā)現線段AN、AB之間存在某種數量關系”．
小強：“通過倍長不同的中線，可以得到不同的結論，但都是正確的”．
小偉：“通過構造、證明相似三角形、全等三角形，就可以將問題解決”．

（1）小偉在探索時，做法為：過B作BQ∥NC交AD延長線于Q，構造△BDQ≌△CDM（ASA）．
請你按照他的做法，判斷AN與AB之間的數量關系為：=．
（2）如圖（2）：延長AD至H，使AD=DH，連接CH，則結論：AN²=MN?CN是否成立？請說明理由；
（3）如圖（3），證明：AN+2MN=NC．