1．【發(fā)現(xiàn)問題】愛好數(shù)學(xué)的小明在做作業(yè)時碰到這樣的一道題目：如圖①，點O為坐標(biāo)原點，⊙O的半徑為1，點A（2，0）．動點B在⊙O上，連結(jié)AB，作等邊△ABC（A，B，C為順時針順序），求OC的最大值．

【解決問題】小明經(jīng)過多次的嘗試與探索，終于得到解題思路：在圖1中，連接OB，以O(shè)B為邊在OB的左側(cè)作等邊三角形BOE，連接AE．
（1）請你找出圖中與OC相等的線段，并說明理由；
（2）線段OC的最大值為 ．
【靈活運用】
（3）如圖2，BC=4，點D是以BC為直徑的半圓上不同于B、C的一個動點，以BD為邊在BD的右側(cè)作等邊△ABD，求AC的最小值．

2．如圖，A，P，B，C是⊙O上的四個點，∠APC=∠CPB=60°．
（1）判斷△ABC的形狀，并證明你的結(jié)論．
（2）求證：PA+PB=PC．
（3）若，點P是弧AB上一動點（異于點A，B），求PA+PB的最大值．

3．已知AB為⊙O的直徑，AB=6，C為⊙O上一點，連接AC．

（1）如圖1，若點C為半圓的中點，求AC的長；
（2）如圖2，連接BC，點D在⊙O外，連接CD，BD，BD交⊙O于點E，此時，BC平分∠ABD，∠D=90°，求證：CD是⊙O的切線；
（3）如圖3，在（2）問的條件下，連接CO，EO，若，求cos∠COE．