1．【問題情境】如圖1，P是⊙O外一點，直線PO分別交⊙O于A，B兩點，則PA的長是點P到⊙O上的點的最短距離．
（1）【初步探究】如圖2，小明為了證明【問題情境】中的結(jié)論，給出如下思路：在⊙O上任取一點C（不與A，B兩點重合），連接PC，OC．請你根據(jù)小明的思路繼續(xù)思考，完成PA＜PC的證明過程；
（2）【直接運用】如圖3，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=4，以BC為直徑的半圓交AB于點D，P是上的一個動點，連接AP，求出線段AP長度的最小值；
（3）【構(gòu)造運用】如圖4，在正方形ABCD中，AD=6，點E，F(xiàn)分別從D，C兩點同時出發(fā)，以相同的速度在邊DC，CB上移動，連接AE和DF交于點P，由于點E，F(xiàn)的移動，使得點P也隨之運動，請求出線段CP長度的最小值．

2．已知：如圖所示，在△ABC中，∠B=90°，AB=5cm,BC=7cm,點P從點A開始沿AB邊向點B以1cm/s的速度移動，點Q從點B開始沿BC邊向點C以2cm/s的速度移動．當(dāng)P、Q兩點中有一點到達終點，則同時停止運動．
（1）如果P，Q分別從A，B同時出發(fā)，那么 秒后，PQ的長度等于2cm；
（2）如果P，Q分別從A，B同時出發(fā)，那么幾秒后，△PBQ的面積等于4cm²？
（3）如果P，Q分別從A，B同時出發(fā)，在運動過程中，是否存在這樣的時刻，使以P為圓心，AP為半徑的圓正好經(jīng)過點Q？若存在，求出運動時間，若不存在．請說明理由．

3．【深度閱讀】蘇格蘭哲學(xué)家托馬斯?卡萊爾（1795-1881）曾給出了一元二次方程x²+bx+c=0的幾何解法：如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點A（0，1），B（-b,c），以AB為直徑作⊙P．若⊙P交x軸于點M（m,0），N（n,0），則m,n為方程x²+bx+c=0的兩個實數(shù)根．
【自主探究】（1）由勾股定理得，AM²=1²+m²，BM²=c²+（-b-m）²，AB²=（1-c）²+b²，在Rt△ABM中，AM²+BM²=AB²，所以1²+m²+c²+（-b-m）²=（1-c）²+b²．化簡得：m²+bm+c=0．同理可得：．
所以m,n為方程x²+bx+c=0的兩個實數(shù)根．
【遷移運用】（2）在圖2中的x軸上畫出以方程x²-3x-2=0兩根為橫坐標(biāo)的點M，N．

（3）已知點A（0，1），B（4，-3），以AB為直徑作⊙C．判斷⊙C與x軸的位置關(guān)系，并說明理由．
【拓展延伸】（4）在平面直角坐標(biāo)系中，已知兩點A（0，a），B（-b,c），若以AB為直徑的圓與x軸有兩個交點M，N，則以點M，N的橫坐標(biāo)為根的一元二次方程是 ．