1．問(wèn)題提出：

（1）如圖1，在等腰直角△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，點(diǎn)D、E分別在邊BC、AC上，連接AD、DE，有∠ADE=45°．求證：△BDA∽△CED；
問(wèn)題探究
（2）如圖2，將矩形ABCD沿AE折疊，使點(diǎn)D落在BC邊的點(diǎn)F處，若AB=3，AD=5，求DE的長(zhǎng)；
問(wèn)題解決
（3）如圖3，菱形ABCD是一座避暑山莊的平面示意圖，其中∠BAD=60°，AB=120米，現(xiàn)計(jì)劃在山莊內(nèi)修建一個(gè)三角形花園AP，點(diǎn)P、Q分別在線段BC、CD上，根據(jù)設(shè)計(jì)要求要使∠APQ=120°，且AP=3PQ，問(wèn)能否建造出符合要求的三角形花園APQ，若能，請(qǐng)找出點(diǎn)P、Q的位置（即求出DQ與BP的長(zhǎng)），若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由．

2．綜合與實(shí)踐課上，夢(mèng)班數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣小組對(duì)圖形中兩條互相垂直的線段間的數(shù)量關(guān)系進(jìn)行探究時(shí)，遇到以下問(wèn)題，請(qǐng)你逐一加以解答：
（1）操作判斷
如圖1，在正方形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H分別在邊AB，CD，AD，BC上，且EF⊥GH，若EF=5，則GH的長(zhǎng)為 ；
如圖2，在矩形ABCD中，BC=2AB，點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H分別在邊AB，CD，AD，BC上，且EF⊥GH，若EF=8，則GH的長(zhǎng)為 ；
（2）遷移探究
如圖3，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，點(diǎn)D，E分別在邊AC，BC上，且AE⊥BD，試證明；
（3）拓展應(yīng)用
如圖4，在矩形ABCD中，AB=6，BC=10，BE平分∠ABC交AD于點(diǎn)E，點(diǎn)F為AE上一點(diǎn)，AG⊥BF交BE于點(diǎn)H，交矩形ABCD的邊于點(diǎn)G．當(dāng)F為AE的三等分點(diǎn)時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出GH的長(zhǎng)．

3．如圖，已知矩形OABC，以點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，其中A（2，0），C（0，3），點(diǎn)P以每秒1個(gè)單位的速度從點(diǎn)C出發(fā)在射線CO上運(yùn)動(dòng)，連接BP，作BE⊥PB交x軸于點(diǎn)E，連接PE交AB于點(diǎn)F，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．
（1）若AB平分∠EBP，求t的值；
（2）當(dāng)t=1時(shí)，求點(diǎn)E的坐標(biāo)；
（3）在運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，是否存在以P、O、E為頂點(diǎn)的三角形與△ABE相似．若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．