問題背景：“對角互補(bǔ)”是經(jīng)典的四邊形模型，解決相應(yīng)問題，通常會涉及到旋轉(zhuǎn)構(gòu)造、全等三角形的證明等綜合性較高的幾何知識．如果問題中有“45°，60°”角度出現(xiàn)，一般會和等腰直角三角形、正方形、等邊三角形等特殊圖形結(jié)合起來考查．
（1）【問題解決】如圖①，∠AOB=∠CPD=90°，OP平分∠AOB，小明同學(xué)從P點(diǎn)分別向OA，OB作垂線PE，PF，由此得到正方形OFPE，與△PED全等的三角形是 △PFC△PFC；
（2）【問題探究】如圖②，若∠AOB=120°，∠CPD=60°，OP平分∠AOB，OD=1，OC=2，求OP的長；
（3）【拓展延伸】如圖③，點(diǎn)P是正方形ABCD外一點(diǎn)，∠CPD=90°，∠PCD=30°，對角線AC，BD交于點(diǎn)O，連接OP，且OP=6+2，求正方形ABCD的面積．
6
+
2
【考點(diǎn)】四邊形綜合題．
【答案】△PFC
【解答】
【點(diǎn)評】
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發(fā)布：2024/9/25 19:0:2組卷：348引用：1難度：0.2
相似題
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1．已知：矩形ABCD中，∠MAN的一邊分別與射線DB、射線CB交于點(diǎn)E、M，另一邊分別與射線DB、射線DC交于點(diǎn)F、N，且∠MAN=∠BDA．
（1）若AB=AD，（如圖1）求證：DF=MC．2
（2）（如圖2）若AB=4，AD=8，tan∠BAM=，連接FM并延長交射線AB于點(diǎn)K，求線段BK的長．14
發(fā)布：2025/1/13 8:0:2組卷：16引用：0難度：0.9 -
2．如圖①，矩形ABCD中，AB=12，AD=25，延長CB至E，使BE=9，連接AE，將△ABE沿AB翻折使點(diǎn)E落在BC上的點(diǎn)F處，連接DF．△ABE從點(diǎn)B出發(fā)，沿線段BC以每秒3個單位的速度平移得到△A′B′E′，當(dāng)點(diǎn)E′到達(dá)點(diǎn)F時，△ABE又從點(diǎn)F開始沿射線FD方向以每秒5個單位的速度平移，當(dāng)點(diǎn)E′到達(dá)點(diǎn)D時停止運(yùn)動，設(shè)運(yùn)動的時間為t秒．
（1）線段DF的長度為；當(dāng)f=秒時，點(diǎn)B′落在CD上；
（2）在△ABE平移的過程中，記△A′B′E′與△AFD互相重疊部分的面積為S，請直接寫出面積S與運(yùn)動時
間t之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量t的取值范圍；
（3）如圖②，當(dāng)點(diǎn)E′到達(dá)點(diǎn)F時，△ABE從點(diǎn)F開始沿射線FD方向以每秒5個單位的速度平移時，設(shè)A′B′
交射線FD于點(diǎn)M，交線段AD于點(diǎn)N，是否存在某一時刻t,使得△DMN為等腰三角形？若存在，請求出相應(yīng)的t值；若不存在，請說明理由．
發(fā)布：2025/1/13 8:0:2組卷：119引用：1難度：0.1 -
3．在矩形ABCD中，點(diǎn)E在BC上，以AE為邊作?AEFG，使點(diǎn)D在AE的對邊FG上．
（1）填空：如圖1，連接DE，則△ADE的面積=四邊形AEFG的面積；
并直接寫出?AEFG的面積S1與矩形ABCD的面積S2的數(shù)量關(guān)系；
（2）如圖2，EF與CD交于點(diǎn)P，連接PA．
①若∠F=90°，證明：A、E、P、D四點(diǎn)在同一個圓上；并直接說明點(diǎn)D、F、C、E是否在同一個圓上；
（3）如圖3，在①的條件下，若AB＜BC，AG=AE，且D是FG的中點(diǎn)，EF交CD于點(diǎn)P，試判斷以FG為直徑的圓與直線PA的位置關(guān)系，并說明理由．發(fā)布：2025/1/13 8:0:2組卷：63引用：1難度：0.1
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