1．已知數(shù)列{a_n}滿足：a₁=1，a₂=2，a_n+2=3a_n+1-2a_n．
（1）證明：數(shù)列{a_n+1-a_n}為等比數(shù)列，并求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）證明：；
（3）若正整數(shù)x=b₁?a₁+b₂?a₂+?+b_k?a_k，b_k∈{0，1}，記W（x）=b₁+b₂+?+b_k．
（?。┣骔（2ⁿ-1）；
（ⅱ）證明：W（4n+3）=W（n）+2．

2．定義：若無窮數(shù)列{a_n}滿足{a_n+1-a_n}是公比為q的等比數(shù)列，則稱數(shù)列{a_n}為“M（q）數(shù)列”．設數(shù)列{b_n}中，b₁=1，b₃=7．
（1）若b₂=4，且數(shù)列{b_n}為“M（q）數(shù)列”，求數(shù)列{b_n}的通項公式：
（2）設數(shù)列{b_n}的前n項和為S_n，且，請判斷數(shù)列{b_n}是否為“M（q）數(shù)列”，并說明理由；
（3）若數(shù)列{b_n}是“M（2）數(shù)列”，是否存在正整數(shù)m,n,使得？若存在，請求出所有滿足條件的正整數(shù)m,n；若不存在，請說明理由．

3．若在數(shù)列的每相鄰兩項之間插入此兩項的和，形成新的數(shù)列，再把所得數(shù)列按照同樣的方法不斷構造出新的數(shù)列．現(xiàn)對數(shù)列1，2進行構造，第一次得到數(shù)列1，3，2；第二次得到數(shù)列1，4，3，5，2；依次構造，第n（n∈N^*）次得到的數(shù)列的所有項之和記為a_n．
（1）求a_n+1與a_n滿足的關系式；
（2）求數(shù)列{a_n}的通項公式a_n；
（3）證明：．