1．已知拋物線y=-x²+bx+c與x軸交于點A（-1，0），B（3，0），與y軸交于點C．

（1）求拋物線的表達式和頂點D的坐標．
（2）已知點P是x軸上的一點，連接DP．
①如圖1，當點P在線段AB上時，以DP為底邊向右側(cè)作等腰Rt△DPQ，若點Q恰好在拋物線上，求點Q的橫坐標；
②如圖2，作點P關(guān)于直線BC的對稱點P'，連接DP'，PP'，當△DPP'是直角三角形時，求點P的坐標．

2．我們把一個半圓與拋物線的一部分合成的封閉圖形稱為“蛋圓”，如果一條直線與“蛋圓”只有一個交點，那么這條直線叫做“蛋圓”的切線．如圖，點A、B、C、D分別是“蛋圓”與坐標軸的交點，已知點D的坐標為（0，-3），AB為半圓的直徑，半圓圓心M的坐標為（1，0），半圓半徑為2．
（1）求“蛋圓”拋物線部分的解析式，并寫出自變量的取值范圍；
（2）求出經(jīng)過點C的“蛋圓”切線的解析式；
（3）P點在線段OB上運動，過P作x軸的垂線，交拋物線于點E，交BD于點F．連接DE和BE后，是否存在這樣的點E，使△BDE的面積最大？若存在，請求出點E的坐標和△BDE面積的最大值；若不存在，請說明理由．

3．拋物線y=ax²+bx-3交x軸于A（-1，0）、B（3，0）兩點，與y軸交于C點，點M為拋物線的頂點．
（1）求二次函數(shù)的解析式；
（2）連接BM，若點Q為線段OB上的一動點（Q不與點B、點O重合），過點Q作x軸的垂線交線段BM于點N，當點Q以1個單位/s的速度從點B向點O運動時，設(shè)運動時間為t,四邊形OCNQ的面積為S，求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式，并求S的最值；
（3）若點R在拋物線上，且以R、C、B為頂點的三角形是直角三角形，請直接寫出所有符合條件的點R的坐標．