“學(xué)習(xí)強國”學(xué)習(xí)平臺的答題競賽包括三項活動，分別為“四人賽”“雙人對戰(zhàn)”和“挑戰(zhàn)答題”．在一天內(nèi)參與“四人賽”活動，每局第一名積3分，第二、三名各積2分，第四名積1分，每局比賽相互獨立．在一天內(nèi)參與“雙人對戰(zhàn)”活動，每局比賽有積分，獲勝者得2分，失敗者得1分，每局比賽相互獨立．已知甲參加“四人賽”活動，每局比賽獲得第一名、第二名的概率均為

1

3

，獲得第四名的概率為

1

6

；甲參加“雙人對戰(zhàn)”活動，每局比賽獲勝的概率為

3

4

．
（1）記甲在一天中參加“四人賽”和“雙人對戰(zhàn)”兩項活動（兩項活動均只參加一局）的總得分為X，求X的分布列與數(shù)學(xué)期望；
（2）“挑戰(zhàn)答題”比賽規(guī)則如下：每位參賽者每次連續(xù)回答5道題，在答對的情況下可以持續(xù)答題，若第一次答錯時，答題結(jié)束，積分為0分，只有全部答對5道題可以獲得5個積分．某市某部門為了吸引更多職工參與答題，設(shè)置了一個“得積分進階”活動，從1階到n（n≥10）階，規(guī)定每輪答題獲得5個積分進2階，沒有獲得積分進1階，按照獲得的階級給予相應(yīng)的獎品，記乙每次獲得5個積分的概率互不影響，均為

5

6

，記乙進到n階的概率為p_n，求p₁₂．