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當(dāng)前位置： 2023-2024學(xué)年福建省泉州市德化縣八年級(jí)（上）期中數(shù)學(xué)試卷> 試題詳情

數(shù)學(xué)家波利亞說過：“為了得到一個(gè)方程，我們必須把同一個(gè)量用兩種不同的方法表示出來，即將一個(gè)量算兩次，從而建立等量關(guān)系．”這就是“算兩次”原理，也稱為富比尼（G．Fubini）原理．例如：對(duì)于一個(gè)圖形，通過不同的方法計(jì)算圖形的面積可以得到一個(gè)數(shù)學(xué)等式．計(jì)算圖1的面積，把圖1看作一個(gè)大正方形，它的面積是（a+b）²；如果把圖1看作是由2個(gè)長(zhǎng)方形和2個(gè)小正方形組成的，它的面積為a²+2ab+b²．由此得到（a+b）²=a²+2ab+b²．
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（1）如圖2，正方形ABCD是由四個(gè)邊長(zhǎng)為a,b的全等的長(zhǎng)方形和中間一個(gè)小正方形組成的，用不同的方法對(duì)圖2的面積進(jìn)行計(jì)算，你發(fā)現(xiàn)的等式是

（a+b）²=（a-b）²+4ab

（用a,b表示）；
（2）請(qǐng)你用若干塊如圖1所示的長(zhǎng)方形和正方形硬紙片圖形，用拼長(zhǎng)方形的方法，把下列二次三項(xiàng)式進(jìn)行因式分解：a²+3ab+2b²．要求：在圖3的框中畫出圖形，寫出分解的因式；
（3）請(qǐng)你用（1）發(fā)現(xiàn)的等式解決問題：已知兩數(shù)x,y滿足x+y=3，

，求x²-y²的值．

【考點(diǎn)】因式分解的應(yīng)用；完全平方公式的幾何背景．

【答案】（a+b）²=（a-b）²+4ab

【解答】

【點(diǎn)評(píng)】

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發(fā)布：2024/10/18 7:0:2組卷：151引用：4難度：0.5

相似題

1．已知x²+x-1=0，求2022x³+2021x²-2023x+1的值是（　　）
A．2023 B．2024 C．1 D．0
發(fā)布：2024/10/18 2:0:2組卷：1289引用：3難度：0.5
解析
2．對(duì)于一個(gè)圖形，通過不同的方法計(jì)算圖形的面積可以得到一個(gè)數(shù)學(xué)等式．
例如，由圖1可以得到：（a+2b）（a+b）=a²+3ab+2b²．
利用圖2所得的等式解答下列問題：
（1）若實(shí)數(shù)a,b,c滿足a+b+c=11，ab+bc+ac=38，求a²+b²+c²的值；
（2）若實(shí)數(shù)x,y,z滿足2^x×4^y÷8^z=4，x²+4y²+9z²=44，求2xy-3xz-6yz的值．
發(fā)布：2024/10/16 2:0:2組卷：170引用：4難度：0.4
解析
3．教科書中這樣寫道：“形如a²±2ab+b²的式子稱為完全平方式“，如果一個(gè)多項(xiàng)式不是完全平方式，我們常做如下變形：先添加一個(gè)適當(dāng)?shù)捻?xiàng)，使式子中出現(xiàn)完全平方式，再減去這個(gè)項(xiàng)，使整個(gè)式子的值不變，這種方法叫做配方法．配方法是一種重要的解決問題的數(shù)學(xué)方法，不僅可以將一個(gè)看似不能分解的多項(xiàng)式分解因式，還能解決一些與非負(fù)數(shù)有關(guān)的問題或求代數(shù)式最大值、最小值等問題．
例如：分解因式：x²+2x-3．
解：原式=（x²+2x+1）-4=（x+1）²-4=（x+1+2）（x+1-2）=（x+3）（x-1）
再如：求代數(shù)式2x²+4x-6的最小值．
解：2x²+4x-6=2（x²+2x-3）=2（x+1）²-8，可知當(dāng)x=-1時(shí)，2x²+4x-6有最小值，最小值是-8．
根據(jù)閱讀材料，用配方法解決下列問題：
（1）分解因式：x²-6x-7=
．（直接寫出結(jié)果）
（2）當(dāng)x為何值時(shí)，多項(xiàng)式-2x²-4x+5有最大值？并求出這個(gè)最大值．
（3）利用配方法，嘗試求出等式a²+5b²-4ab-2b+1=0中a,b的值．
發(fā)布：2024/10/16 3:0:2組卷：394引用：7難度：0.6
解析

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