1．【給出問題】：已知：⊙O是正方形ABCD的外接圓，點P在⊙O上（除A、B外），試求∠APB的度數．
【分析問題】：善于思考的小明在分析上述題目后，有了以圓為工具來解決問題的思路．用圓來畫出準確的示意圖就能順利解題了，在此基礎上進一步探索就有了新發(fā)現．請善于思考的你幫助解答以下問題：
（1）①尺規(guī)作圖，在⊙O中作出內接正方形ABCD（保留痕跡，不寫作法）．
②原題中∠APB=．
【深入思考】：
（2）【問題】如圖1，若四邊形ABCD是⊙O的內接正方形，點P為弧DC上一動點，連接PA、PB、PC、PD，請?zhí)骄縋D、PA、PC三者之間或者PD、PB、PC三者之間有何數量關系，并給予證明．
（3）【拓展】如圖2，若六邊形ABCDEF是⊙O的內接正六邊形，點P為弧BC上一動點，請?zhí)骄縋A、PB、PC三者之間有何數量關系：（不寫證明過程）．
（4）【應用】如圖3，若四邊形ABCD是矩形，點P為邊DC上一點，∠APB=45°，PD=2，PC=4，試求矩形ABCD的面積．

2．如圖，以矩形ABCD的邊CD為直徑作⊙O，點E是AB的中點，連接CE交⊙O于點F，連接AF并延長交BC于點H．
（1）若連接AO，試判斷四邊形AECO的形狀，并說明理由；
（2）求證：AH是⊙O的切線；
（3）若AB=6，CH=2，求AH的長．

3．[學習心得]
（1）小雯同學在學習完“圓”這一章內容后，感覺到一些幾何問題如果添加輔助圓，運用圓的知識解決，可以使問題變得非常容易．
例如：如圖1，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，D是△ABC外一點，且AD=AC，求∠BDC的度數．若以點A為圓心，AB長為半徑作輔助圓⊙A，則C、D兩點必在⊙A上，∠BAC是⊙A的圓心角．∠BDC是⊙A的圓周角，則∠BDC=°．

[初步運用]
（2）如圖2，在四邊形ABCD中，∠BAD=∠BCD=90°，∠BDC=25°，則∠BAC=；
[方法遷移]
（3）如圖3，已知線段AB和直線l,用直尺和圓規(guī)在l上作出所有的點P，使得∠APB=30°（不寫作法，保留作圖痕跡）：
[問題拓展]
（4）①如圖4①，已知矩形ABCD，AB=4，BC=m,M為邊CD上的點，若滿足∠AMB=45°的點M恰好有兩個，則m的取值范圍為 ．
②如圖4②，在△ABC中，∠BAC=45°，AD是BC邊上的高，且BD=3，CD=1，求AD的長．