小明在學(xué)習(xí)了“命題”“逆命題”相關(guān)知識后發(fā)現(xiàn)有的平面圖形的判定方法，是通過研究其性質(zhì)定理的逆命題得出的，在學(xué)習(xí)等腰三角形的相關(guān)知識時，小明發(fā)現(xiàn)其性質(zhì)定理“等邊對等角”與判定定理“等角對等邊”也存在互逆關(guān)系，如圖1，用幾何語言表達(dá)就是：
性質(zhì)：∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
判定：∵∠B=∠C，
∴AB=AC．
由此，愛動腦筋的小明進(jìn)行了如下思考：“等腰三角形三線合一”的性質(zhì)可以分解為三個不同的真命題，即：
（1）等腰三角形底邊上的中線也是底邊上的高線；
（2）等腰三角形頂角的平分線也是底邊上的高線：
（3）等腰三角形頂角的平分線也是底邊上的中線；
由此3個真命題，小明得到三個新命題，即：
Ⅰ．如果一個三角形一邊上的中線也是這邊上的高線，那么這個三角形是等腰三角形；
Ⅱ．如果一個三角形一個角的平分線也是這個角對邊上的高線，那么這個三角形是等腰三角形；
Ⅲ． 如果一個三角形一個角的平分線也是這個角對邊上的中線，那么這個三角形是等腰三角形如果一個三角形一個角的平分線也是這個角對邊上的中線，那么這個三角形是等腰三角形．
（1）請你根據(jù)前面的命題3寫出小明猜想的第Ⅲ個命題：如果一個三角形一個角的平分線也是這個角對邊上的中線，那么這個三角形是等腰三角形如果一個三角形一個角的平分線也是這個角對邊上的中線，那么這個三角形是等腰三角形；
（2）小明認(rèn)為這三個命題如果是真命題，那么就可以作為等腰三角形的判定方法，于是小明對三個命題進(jìn)行證明，他把前兩個命題根據(jù)圖2寫出了已知，求證：
命題Ⅰ：△ABC中，D是BC邊上的中點，AD⊥BC，求證：△ABC是等腰三角形；
命題Ⅱ：△ABC中，AD平分∠BAC，AD⊥BC，求證：△ABC是等腰三角形；
命題Ⅲ：△ABC中，AD平分∠BAC，D是BC邊上的中點，求證：△ABC是等腰三角形△ABC中，AD平分∠BAC，D是BC邊上的中點，求證：△ABC是等腰三角形；
①請你寫出命題Ⅲ的幾何語言；
②小明猜想的三個命題是否都是真命題，如果不是，請說明理由．如果是，請幫助小明進(jìn)行證明．
【考點】三角形綜合題．
【答案】如果一個三角形一個角的平分線也是這個角對邊上的中線，那么這個三角形是等腰三角形；如果一個三角形一個角的平分線也是這個角對邊上的中線，那么這個三角形是等腰三角形；△ABC中，AD平分∠BAC，D是BC邊上的中點，求證：△ABC是等腰三角形
【解答】
【點評】
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發(fā)布：2024/6/28 8:0:9組卷：92引用：1難度：0.3
相似題
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1．已知直角△ABC，∠BAC=90°，D是斜邊BC的中點，E、F分別是AB、AC邊上的點，且DE⊥DF，連接EF．
（1）如圖1，求證：∠BED=∠AFD；
（2）如圖1，求證：BE2+CF2=EF2；
（3）如圖2，當(dāng)∠ABC=45°，若BE=4，CF=3，求△DEF的面積．發(fā)布：2024/12/23 14:0:1組卷：181引用：3難度：0.2 -
2．一副三角板如圖1擺放，∠C=∠DFE=90°，∠B=30°，∠E=45°，點F在BC上，點A在DF上，且AF平分∠CAB，現(xiàn)將三角板DFE繞點F順時針旋轉(zhuǎn)（當(dāng)點D落在射線FB上時停止旋轉(zhuǎn)）．
（1）當(dāng)∠AFD=°時，DF∥AC；當(dāng)∠AFD=°時，DF⊥AB；
（2）在旋轉(zhuǎn)過程中，DF與AB的交點記為P，如圖2，若△AFP有兩個內(nèi)角相等，求∠APD的度數(shù)；
（3）當(dāng)邊DE與邊AB、BC分別交于點M、N時，如圖3，若∠AFM=2∠BMN，比較∠FMN與∠FNM的大小，并說明理由．
發(fā)布：2024/12/23 18:30:1組卷：1666引用：10難度：0.1 -
3．已知A（0，4），B（-4，0），D（9，4），C（12，0），動點P從點A出發(fā)，在線段AD上，以每秒1個單位的速度向點D運動：動點Q從點C出發(fā)，在線段BC上，以每秒2個單位的速度向點B運動，點P、Q同時出發(fā)，當(dāng)其中一個點到達(dá)終點時，另一個點隨之停止運動，設(shè)運動時間為t（秒）．
（1）當(dāng)t=秒時，PQ平分線段BD；
（2）當(dāng)t=秒時，PQ⊥x軸；
（3）當(dāng)時，求t的值．∠PQC=12∠D發(fā)布：2024/12/23 15:0:1組卷：140引用：3難度：0.1
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