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當(dāng)前位置： 2023-2024學(xué)年河南省洛陽第一高級中學(xué)高二（上）期中數(shù)學(xué)試卷（A卷）> 試題詳情

生活中，橢圓有很多光學(xué)性質(zhì)，如從橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)出發(fā)的光線射到橢圓鏡面后反射，反射光線經(jīng)過另一個(gè)焦點(diǎn)．現(xiàn)橢圓C的焦點(diǎn)在y軸上，中心在原點(diǎn)，從下焦點(diǎn)F₁射出的光線經(jīng)過橢圓鏡面反射到上焦點(diǎn)F₂，這束光線的總長度為4，且反射點(diǎn)與焦點(diǎn)構(gòu)成的三角形面積的最大值為

，已知橢圓的離心率

＜

．
（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程．
（2）若從橢圓C的中心O出發(fā)的兩束光線OM，ON，分別穿過橢圓上的A，B兩點(diǎn)后射到直線y=4上的M，N兩點(diǎn)，若AB連線過橢圓的上焦點(diǎn)F₂，試問，直線BM與直線AN能交于一定點(diǎn)嗎？若能，求出此定點(diǎn)；若不能，請說明理由．

【考點(diǎn)】直線與橢圓的綜合；橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；橢圓的幾何特征．

【答案】見試題解答內(nèi)容

【解答】

【點(diǎn)評】

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發(fā)布：2024/9/6 7:0:8組卷：74引用：4難度：0.5

相似題

1．已知橢圓
C
：
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=
1
（a＞b＞0）長軸的兩頂點(diǎn)為A、B，左右焦點(diǎn)分別為F₁、F₂，焦距為2c且a=2c,過F₁且垂直于x軸的直線被橢圓C截得的線段長為3．
（1）求橢圓C的方程；
（2）在雙曲線
T
：
x
2
4
-
y
2
3
=
1
上取點(diǎn)Q（異于頂點(diǎn)），直線OQ與橢圓C交于點(diǎn)P，若直線AP、BP、AQ、BQ的斜率分別為k₁、k₂、k₃、k₄，試證明：k₁+k₂+k₃+k₄為定值；
（3）在橢圓C外的拋物線K：y²=4x上取一點(diǎn)E，若EF₁、EF₂的斜率分別為k₁′、k₂′，求
1
k
1
′
k
2
′
的取值范圍．
發(fā)布：2024/9/18 5:0:8組卷：159引用：2難度：0.1
解析
2．已知橢圓
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=
1
（
a
＞
b
＞
0
）
的離心率為
1
2
，且點(diǎn)
M
（
1
，
3
2
）
在橢圓上．
（1）求橢圓的方程；
（2）過橢圓右焦點(diǎn)F₂作兩條互相垂直的弦AB與CD，求|AB|+|CD|的取值范圍．
發(fā)布：2024/9/19 9:0:8組卷：86引用：4難度：0.3
解析
3．已知橢圓
E
：
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=
1
（
a
＞
b
＞
0
）
的長軸長為4，且點(diǎn)
P
（
1
，
3
2
）
在橢圓E上．
（1）求橢圓E的方程；
（2）過橢圓E的右焦點(diǎn)F作不與兩坐標(biāo)軸重合的直線l,與E交于不同的兩點(diǎn)M，N，線段MN的中垂線與y軸相交于點(diǎn)T，求
|
MN
|
|
OT
|
（O為原點(diǎn)）的最小值，并求此時(shí)直線l的方程．
發(fā)布：2024/9/22 4:0:8組卷：54引用：2難度：0.3
解析

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