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當(dāng)前位置： 2023-2024學(xué)年江西省南昌三中高三（上）第二次月考數(shù)學(xué)試卷（10月份）> 試題詳情

設(shè)x,y∈R，向量

，

分別為平面直角坐標(biāo)內(nèi)x,y軸正方向上的單位向量，若向量

=（x-

），

=（x-

）

，且|

|+|

|=4．
（Ⅰ）求點(diǎn)M（x,y）的軌跡C的方程；
（Ⅱ）設(shè)橢圓E：

=1，曲線C的切線y=kx+m交橢圓E于A、B兩點(diǎn)，試證：△OAB的面積為定值．

【考點(diǎn)】直線與圓錐曲線的綜合；橢圓的幾何特征．

【答案】見試題解答內(nèi)容

【解答】

【點(diǎn)評(píng)】

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發(fā)布：2024/9/28 8:0:1組卷：70引用：3難度：0.5

相似題

1．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，動(dòng)圓P與圓
C
1
：
x
2
+
y
2
+
2
x
-
45
4
=
0
內(nèi)切，且與圓C₂：
x
2
+
y
2
-
2
x
+
3
4
=
0
外切，記動(dòng)圓P的圓心的軌跡為E．
（1）求軌跡E的方程；
（2）過(guò)橢圓C右焦點(diǎn)的直線l交橢圓于A，B兩點(diǎn)，交直線x=4于點(diǎn)D．設(shè)直線QA，QD，QB的斜率分別為k₁，k₂，k₃，若k₂≠0，證明：
k
1
+
k
3
k
2
為定值．
發(fā)布：2024/9/28 9:0:1組卷：65引用：4難度：0.5
解析
2．已知直線l過(guò)橢圓C₁：
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=
1
（
a
＞
b
＞
0
）
的右焦點(diǎn)F且與橢圓C₁交于A、B兩點(diǎn)，直線l與雙曲線C₂：
x
2
a
2
-
y
2
b
2
=1的兩條漸近線l₁、l₂分別交于M、N兩點(diǎn)．
（1）若|OF|=
3
，且當(dāng)l⊥x軸時(shí)，△MON的面積為
3
2
，求雙曲線C₂的方程；
（2）如圖所示，若橢圓C₁的離心率e=
2
2
，l⊥l₁且
FA
=
λ
AN
（λ＞0），求實(shí)數(shù)λ的值．
發(fā)布：2024/9/28 7:0:2組卷：15引用：1難度：0.6
解析
3．已知雙曲線T：
y
2
a
2
-
x
2
b
2
=
1
（
a
＞
0
，
b
＞
0
）
過(guò)點(diǎn)
（
0
，
2
2
）
，橢圓C：
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=
1
（
a
＞
b
＞
0
）
的離心率為
2
2
．直線l過(guò)右焦點(diǎn)F且不平行于坐標(biāo)軸，l與C有兩交點(diǎn)A，B，線段AB的中點(diǎn)為M．
（1）求雙曲線T和橢圓C的方程；
（2）證明：直線OM的斜率與l的斜率的乘積為定值；
（3）延長(zhǎng)線段OM與橢圓C交于點(diǎn)P，若四邊形OAPB為平行四邊形，求此時(shí)直線l的斜率．
發(fā)布：2024/9/28 8:0:1組卷：37引用：1難度：0.5
解析

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