1．如圖1，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠C=30°，BC=12，D是BC的中點(diǎn)．經(jīng)過A，B，D的⊙O交AC于E點(diǎn)．
（1）求AE的長(zhǎng)．
（2）當(dāng)點(diǎn)P從點(diǎn)A勻速運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)E時(shí)，點(diǎn)Q恰好從點(diǎn)C勻速運(yùn)動(dòng)點(diǎn)B．記AP=x,BQ=y.
①求y關(guān)于x的表達(dá)式．
②連結(jié)PQ，當(dāng)△PQC的面積最大時(shí)，求x的值．
（3）如圖2，連結(jié)BE，BP，延長(zhǎng)BP交⊙O于點(diǎn)F，連結(jié)FE．當(dāng)EF與△BDE中的某一邊相等時(shí)，求四邊形BDEF的面積．

2．如圖①，在⊙O中，弦AD平分圓周角∠BAC，我們將圓中以A為公共點(diǎn)的三條弦AB，AC，AD構(gòu)成的圖形稱為圓中“爪形A”，弦AB，AC，AD稱為“爪形A”的爪．

已知四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，AB=BC，連接BD．（如圖②）
（1）證明：圓中存在“爪形D”；
（2）如圖③，若“爪形D”的爪之間滿足AD+CD=BD，求∠ADC的大?。?br />（3）如圖④，若∠ABC=90°，作點(diǎn)D關(guān)于BC對(duì)稱的點(diǎn)P，連接PA，PB，PC，試猜想PA，PB，PC三者之間的數(shù)量關(guān)系并給予證明．

3．[問題提出]我們知道：同弧或等弧所對(duì)的圓周角都相等，且等于這條弧所對(duì)的圓心角的一半，那么，在一個(gè)圓內(nèi)同一條弦所對(duì)的圓周角與圓心角之間又有什么關(guān)系呢？
[初步思考]

（1）如圖1，AB是⊙O的弦，∠AOB=100°，點(diǎn)P₁、P₂分別是優(yōu)弧AB和劣弧AB上的點(diǎn)，則∠AP₁B=°，∠AP₂B=°；
（2）如圖2，AB是⊙O的弦，圓心角∠AOB=m°（m＜180°），點(diǎn)P是⊙O上不與A、B重合的一點(diǎn)，求弦AB所對(duì)的圓周角∠APB的度數(shù)為 ；（用m的代數(shù)式表示）
[問題解決]
（3）如圖3，已知線段AB，點(diǎn)C在AB所在直線的上方，且∠ACB=135°，用尺規(guī)作圖的方法作出滿足條件的點(diǎn)C所組成的圖形（①直尺為無刻度直尺；②不寫作法，保留作圖痕跡）；
[實(shí)際應(yīng)用]
（4）如圖4，在邊長(zhǎng)為6的等邊三角形ABC中，點(diǎn)E、F分別是邊AC、BC上的動(dòng)點(diǎn)，連接AF、BE，交于點(diǎn)P，若始終保持AE=CF，當(dāng)點(diǎn)E從點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C時(shí)，點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)是 ．