1．如圖，△OAB中，OA=OB=10cm,∠AOB=80°，以點O為圓心，半徑為6cm的優(yōu)弧分別交OA、OB于點M、N．
（1）點P在右半弧上（∠BOP是銳角），將OP繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)80°得OP′．求證：AP=BP′；
（2）點T在左半弧上，若AT與圓弧相切，求AT的長；
（3）Q為優(yōu)弧上一點，當(dāng)△AOQ面積最大時，請直接寫出∠BOQ的度數(shù)為．

2．小明學(xué)習(xí)了垂徑定理后，做了下面的探究，請根據(jù)題目要求幫小明完成探究．
（1）更換定理的題設(shè)和結(jié)論可以得到許多新的發(fā)現(xiàn)．如圖1，在⊙O中，C是的中點，直線CD⊥AB于點E，則可以得到AE=BE，請證明此結(jié)論．

（2）從圓上任意一點出發(fā)的兩條弦所組成的折線，稱為該圓的一條折弦．如圖2，古希臘數(shù)學(xué)家阿基米德發(fā)現(xiàn)，若PA、PB是⊙O的折弦，C是的中點，CD⊥PA于點E．則AE=PE+PB．這就是著名的“阿基米德折弦定理”．那么如何來證明這個結(jié)論呢？小明的證明思路是：在AE上截取AF=PB，連接CA、CF、PC、BC…請你按照小明的思路完成證明過程．
（3）如圖3，已知等邊三角形ABC內(nèi)接于⊙O，AB=2，點D是上的一點，∠ABD=45°，AE⊥BD于點E，則△BDC的周長為 ．

3．【了解概念】
我們知道，折線段是由兩條不在同一直線上且有公共端點的線段組成的圖形．如圖1，線段MQ、QN組成折線段MQN．若點P在折線段MQN上，MP=PQ+QN，則稱點P是折線段MQN的中點．

【理解應(yīng)用】
（1）如圖2，⊙O的半徑為2，PA是⊙O的切線，A為切點，點B是折線段POA的中點．若∠APO=30°，則PB=；
【定理證明】
（2）阿基米德折弦定理：如圖3，AB和BC是⊙O的兩條弦（即折線段ABC是圓的一條折弦），BC＞AB，點M是的中點，從M向BC作垂線，垂足為D，求證：D是折弦ABC的中點；
【變式探究】
（3）如圖4，若點M是的中點，【定理證明】中的其他條件不變，則CD、DB、BA之間存在怎樣的數(shù)量關(guān)系？請直接寫出結(jié)論．
【靈活應(yīng)用】
（4）如圖5，BC是⊙O的直徑，點A為⊙O上一定點，點D為⊙O上一動點，且滿足∠DAB=45°，若AB=8，BC=10，則AD=．