隨機變量的概念是俄國數學家切比雪夫在十九世紀中葉建立和提倡使用的．切比雪夫在數論、概率論、函數逼近論、積分學等方面均有所建樹，他證明了如下以他名字命名的離散型切比雪夫不等式：設X為離散型隨機變量，則P（|X-E（X）|≥λ）≤D（X）λ2，其中λ為任意大于0的實數．切比雪夫不等式可以使人們在隨機變量X的分布未知的情況下，對事件|X-λ|≤λ的概率作出估計．
（1）證明離散型切比雪夫不等式；
（2）應用以上結論，回答下面問題：
已知正整數n≥5．在一次抽獎游戲中，有n個不透明的箱子依次編號為1，2，?，n,編號為i（1≤i≤n）的箱子中裝有編號為0，1，?，i的i+1個大小、質地均相同的小球．主持人邀請n位嘉賓從每個箱子中隨機抽取一個球，記從編號為i的箱子中抽取的小球號碼為Xi，并記X=n∑i=1Xii．對任意的n,是否總能保證P（X≤0.1n）≥0.01（假設嘉賓和箱子數能任意多）？并證明你的結論．
附：可能用到的公式（數學期望的線性性質）：
對于離散型隨機變量X，X1，X2，?，Xn滿足X=n∑i=1Xi，則有E（X）=n∑i=1E（Xi）．
D
（
X
）
λ
2
n
∑
i
=
1
X
i
i
n
∑
i
=
1
X
i
n
∑
i
=
1
E
（
X
i
）
【考點】離散型隨機變量的均值（數學期望）．
【答案】見試題解答內容
【解答】
【點評】
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發(fā)布：2024/6/27 10:35:59組卷：150難度：0.6
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