2021-2022學(xué)年上海市金山中學(xué)高二（下）期末數(shù)學(xué)試卷

一、填空題（本大題共有12小題，滿分54分，第1-6題每題4分，第7-12題每題5分）

• 1．計算

  +

  ∞

  ∑

  i

  =

  2

  （

  2

  3

  ）

  i

  =

  ．
  組卷：7引用：2難度：0.8

  解析
• 2．等差數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，a₃=5，a_n-2=28，S_n=198，則n=

  ．
  組卷：27引用：2難度：0.8

  解析
• 3．若二項式

  （

  2

  x

  -

  a

  x

  ）

  6

  展開式的常數(shù)項為60，則實數(shù)a的值為

  ．
  組卷：64引用：3難度：0.9

  解析
• 4．某次演出有6個節(jié)目，若甲、乙、丙3個節(jié)目的先后順序已確定，則不同的排法有

  種．
  組卷：15引用：2難度：0.7

  解析
• 5．已知x=a是函數(shù)f（x）=x³-（a+3）x²+5x的極小值點，則a=

  ．
  組卷：20引用：2難度：0.5

  解析
• 6．已知第一層書架中有6本數(shù)學(xué)書，4本語文書；第二層書架中有8本數(shù)學(xué)書，12本語文書．隨機選取一層，再從該層中隨機取一本書，則它是數(shù)學(xué)書的概率為

  ．
  組卷：8引用：3難度：0.7

  解析
• 7．已知數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，S_n+1S_n+a_n+1=0，a₁=1，則S₂₀₂₂=

  ．
  組卷：12引用：2難度：0.6

  解析

三、解答題（本大題共5題，滿分76分）

• 20．近兩年因為疫情的原因，線上教學(xué)越來越普遍了．為了提升同學(xué)們的聽課效率，授課教師可以選擇在授課過程中進行專注度監(jiān)測，即要求同學(xué)們在10秒鐘內(nèi)在軟件平臺上按鈕簽到，若同學(xué)們能夠在10秒鐘內(nèi)完成簽到，則說明該同學(xué)在認真聽課，否則就可以認為該同學(xué)目前走神了．經(jīng)過一個月對全體同學(xué)上課情況的觀察統(tǒng)計，平均每次專注度監(jiān)測有90%的同學(xué)能夠正常完成簽到．為了能夠進一步研究同學(xué)們上課的專注度情況，我們做如下兩個約定：
  ①假設(shè)每名同學(xué)在專注度監(jiān)測中出現(xiàn)走神情況的概率均相等；
  ②約定每次專注度監(jiān)測中，每名同學(xué)完成簽到加2分，未完成簽到加1分．
  請回答如下兩個問題：
  （1）若一節(jié)課老師會進行3次專注度監(jiān)測，那么某班同學(xué)在3次專注度監(jiān)測中的總得分的數(shù)學(xué)期望是多少？
  （2）記某位同學(xué)在數(shù)次專注度監(jiān)測中累計得分恰為n分的概率為P_n（比如：P₁表示累計得分為1分的概率，P₂表示累計得分為2的概率），求：
  ①{P_n+1-P_n}的通項公式；
  ②{P_n}的通項公式．
  組卷：234引用：3難度：0.6

  解析
• 21．已知函數(shù)f（x）=alnx+bx（a,b∈R）．
  （1）若a=b=1，求函數(shù)y=f（x）的圖像在x=1處的切線方程；
  （2）若a=1，求函數(shù)y=f（x）的單調(diào)區(qū)間；
  （3）若b=-1，已知函數(shù)y=f（x）有兩個相異零點x₁，x₂，求證：x₁x₂＞e²．
  組卷：28引用：2難度：0.5

  解析