2010年新課標(biāo)九年級數(shù)學(xué)競賽培訓(xùn)第11講：雙曲線

一、填空題（共8小題，每小題5分，滿分40分）

• 1．已知反比例函數(shù)

  y

  =

  k

  x

  的圖象與直線y=2x和y=x+1過同一點，則當(dāng)x＞0時，這個反比例函數(shù)的函數(shù)值y隨x的增大而

   

  （填增大或減小）．
  組卷：59引用：3難度：0.7

  解析

• 2．若一次函數(shù)y=kx+b的圖象如圖所示，則拋物線y=x²+kx+b的對稱軸位于y軸的

   

  側(cè)；反比例函數(shù)

  y

  =

  kb

  x

  的圖象在第

   

  象限，在每一個象限內(nèi)，y隨x的增大而

   

  ．
  組卷：82引用：1難度：0.7

  解析

• 3．反比例函數(shù)

  y

  =

  k

  x

  的圖象經(jīng)過點P（a,b），其中a、b是一元二次方程x²+kx+4=0的兩根，那么點P的坐標(biāo)是

  ．
  組卷：274引用：20難度：0.7

  解析

• 4．如圖：函數(shù)y=-kx（k≠0）與y=-

  4

  x

  的圖象交于A、B兩點，過點A作AC垂直于y軸，垂足為點C，則△BOC的面積為

  ．
  組卷：896引用：49難度：0.6

  解析

• 5．已知點P（n,2n）是第一象限的點，下面四個命題：
  ①點P關(guān)于y軸對稱的點P₁的坐標(biāo)是（n,-2n）
  ②點P到原點O的距離是

  5

  n

  
  ③直線y=-nx+2n不經(jīng)過第三象限
  ④對于函數(shù)

  y

  =

  n

  x

  ，當(dāng)x＜0時，y隨x的增大而減小
  其中命題不正確的是

   

  （填上所有命題的序號如①②等）．
  組卷：145引用：4難度：0.5

  解析

• 6．反比例函數(shù)y=

  k

  x

  的圖象上有一點P（m,n），其坐標(biāo)是關(guān)于t的一元二次方程t²-3t+k=0的兩根，且點P到原點的距離為

  13

  ，則該反比例函數(shù)的關(guān)系式為

   

  ．
  組卷：552引用：8難度：0.5

  解析

• 7．如圖，正比例函數(shù)y=3x的圖象與反比例函數(shù)

  y

  =

  k

  x

  （k＞0）的圖象交于點A，若k取1，2，3…20，對應(yīng)的Rt△AOB的面積分別為S₁，S₂，…，S₂₀，則S₁+S₂+…+S₂₀=

   

  ．
  組卷：233引用：2難度：0.7

  解析

三、解答題（共9小題，滿分90分）

• 21．如圖，直線經(jīng)過A（1，0），B（0，1）兩點，點P是雙曲線

  y

  =

  1

  2

  x

  （x＞0）上任意一點，PM⊥x軸，PN⊥y軸，垂足分別為M，N．PM與直線AB交于點E，PN的延長線與直線AB交于點F．
  （1）求證：AF?BE=1；
  （2）若平行于AB的直線與雙曲線只有一個公共點，求公共點的坐標(biāo)．
  組卷：225引用：1難度：0.5

  解析

• 22．已知矩形ABCD的面積為36，以此矩形的對稱軸為坐標(biāo)軸建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)點A的坐標(biāo)為（x,y），其中x＞0，y＞0．
  （1）求出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，求出自變量x的取值范圍；
  （2）用x、y表示矩形ABCD的外接圓的面積S，并用下列方法，解答后面的問題：
  方法：∵

  a

  2

  +

  k

  2

  a

  2

  =

  （

  a

  -

  k

  a

  ）

  2

  +

  2

  k

  （k為常數(shù)且k＞0，a≠0），
  ∵

  （

  a

  -

  k

  a

  ）

  2

  ≥

  0

  
  ∴

  a

  2

  +

  k

  2

  a

  2

  ≥

  2

  k

  
  ∴當(dāng)

  a

  -

  k

  a

  =0，即

  a

  =±

  k

  時，

  a

  2

  +

  k

  2

  a

  2

  取得最小值2k.
  問題：當(dāng)點A在何位置時，矩形ABCD的外接圓面積S最小并求出S的最小值；
  （3）如果直線y=mx+2（m＜0）與x軸交于點P，與y軸交于點Q，那么是否存在這樣的實數(shù)m,使得點P、Q與（2）中求出的點A構(gòu)成APQ的面積是矩形ABCD面積的

  1

  6

  ？若存在，請求出m的值；若不存在，請說明理由．
  組卷：425引用：4難度：0.1

  解析