2023-2024學年湖南省長沙市天心區(qū)長郡中學高二（上）入學數學試卷（暑假檢測）

一、選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）

• 1．設

  M

  =

  {

  x

  |

  x

  =

  k

  2

  ，

  k

  ∈

  Z

  }

  ，

  N

  =

  {

  x

  |

  x

  =

  k

  +

  1

  2

  ，

  k

  ∈

  Z

  }

  ，則（　?。?/h2>

  A．M?N

  B．N?M

  C．M=N

  D．M∩N=?
  組卷：434引用：5難度：0.9

  解析

• 2．用簡單隨機抽樣的方法從含有10個個體的總體中，抽取一個容量為3的樣本，其中某一個體a“第一次被抽到”的可能性，“第二次被抽到”的可能性分別是（　?。?/h2>

  A． 1 10 ， 1 10

  B． 3 10 ， 1 5

  C． 1 5 ， 3 10

  D． 3 10 ， 3 10
  組卷：1001引用：17難度：0.9

  解析

• 3．設a=log₈27，b=log_0.50.2，c=log₄24，則（　?。?/h2>

  A．a＜b＜c

  B．b＜a＜c

  C．a＜c＜b

  D．b＜c＜a
  組卷：160引用：7難度：0.8

  解析

• 4．在△ABC中，“A＞B”是“cos2A＜cos2B”的（　　）

  A．充要條件	B．必要不充分條件
  C．充分不必要條件	D．既不充分又不必要條件
  組卷：187難度：0.5

  解析

• 5．已知f（x）=x,g（x）=x²-2x,F（x）=

  g （ x ） ， f （ x ） ≥ g （ x ）

  f （ x ） ， f （ x ） ＜ g （ x ）

  則F（x）的最值情況是（　　）

  A．最大值為3，最小值為-1

  B．最小值為-1，無最大值

  C．最大值為3，無最小值

  D．既無最大值，也無最小值
  組卷：186難度：0.7

  解析

• 6．若

  tanα

  =

  2

  tan

  π

  7

  ，則

  sin

  （

  α

  -

  π

  7

  ）

  cos

  （

  α

  -

  5

  π

  14

  ）

  =（　　）

  A． - 1 3

  B． 1 3

  C．-3

  D．3
  組卷：68引用：2難度：0.7

  解析

• 7．若正實數x,y滿足x+y+xy=8，則下列結論不正確的是（　?。?/h2>

  A．x+y的最小值為4	B．xy的最大值為4
  C．x+2y的最小值為 6 2 - 3	D．x2+y2的最大值為8
  組卷：804引用：6難度：0.5

  解析

四、解答題（本題共6小題，共70分．解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟）

• 21．如圖，在三棱臺ABC-A₁B₁C₁中，若A₁A⊥平面ABC，AB⊥AC，AB=AC=AA₁=2，A₁C₁=1，N為AB中點，M為棱BC上一動點（不包含端點）．
  （1）若M為BC的中點，求證：A₁N∥平面C₁MA；
  （2）是否存在點M，使得平面C₁MA與平面ACC₁A₁所成角的余弦值為

  6

  6

  ？若存在，求出BM長度；若不存在，請說明理由．
  組卷：533引用：12難度：0.5

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• 22．若函數y=f（x）滿足在定義域內的某個集合A上，對任意x∈A，都有e^x[f（x）-e^x]是一個常數a,則稱f（x）在A上具有M性質．
  （1）設y=f（x）是R上具有M性質的奇函數，求f（x）的解析式；
  （2）設y=g（x）是在區(qū)間[-2，2]上具有M性質的函數，且對于任意x₁，x₂∈[-2，2]，都有（|g（x₁）|-|g（x₂）|）（x₁-x₂）＞0成立，求a的取值范圍．
  組卷：24引用：2難度：0.5

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