2022-2023學(xué)年上海市楊浦區(qū)控江中學(xué)高二（下）期中數(shù)學(xué)試卷

一、填空題（本大題共有12題，滿分54分，第1-6題每題4分，第7-12題每題5分）考生應(yīng)在答題紙的相應(yīng)位置填寫結(jié)果.

• 1．向量

  a

  =

  （

  3

  ，

  0

  ，

  1

  ）

  的模

  |

  a

  |

  =

  ．
  組卷：20引用：1難度：0.8

  解析

• 2．函數(shù)y=lnx的導(dǎo)函數(shù)的定義域?yàn)?

  ．
  組卷：45引用：1難度：0.8

  解析

• 3．根據(jù)二項(xiàng)式定理，（1+x）¹⁰的二項(xiàng)展開(kāi)式共有

  項(xiàng)．
  組卷：82引用：2難度：0.8

  解析

• 4．設(shè)m,n∈R，若向量

  a

  =

  （

  2

  ，-

  1

  ，

  3

  ）

  與向量

  b

  =

  （

  m

  ,

  2

  ，

  n

  ）

  平行，則m+n=

  ．
  組卷：82引用：2難度：0.7

  解析

• 5．已知函數(shù)

  f

  （

  x

  ）

  =

  cos

  （

  x

  -

  π

  3

  ）

  ，則函數(shù)y=f（x）的導(dǎo)函數(shù)f'（x）=

  ．
  組卷：35引用：1難度：0.7

  解析

• 6．設(shè)a∈R，若1是函數(shù)f（x）=ax+lnx的一個(gè)駐點(diǎn)，則a=

  ．
  組卷：154引用：2難度：0.8

  解析

• 7．在

  （

  3

  x

  +

  2

  x

  ）

  8

  的二項(xiàng)展開(kāi)式中，常數(shù)項(xiàng)為

  ．
  組卷：45引用：1難度：0.8

  解析

三、解答題（本大題共有5題，滿分78分）解答下列各題必須在答題紙的相應(yīng)位置寫出必要的步驟.

• 20．設(shè)實(shí)數(shù)m≠0．對(duì)任意給定的實(shí)數(shù)x,都有（3+mx）⁹⁹=a₀+a₁x+a₂x²+?+a₉₉x⁹⁹．
  （1）當(dāng)m=1時(shí)，求a₉₇+a₉₈的值；
  （2）若m是整數(shù)，且滿足6＜

  a

  5

  a

  4

  ＜7成立，求a₀+a₁+a₂+?+a₉₉的值；
  （3）當(dāng)m∈（12，13）時(shí)，根據(jù)m的取值，討論（3+mx）⁹⁹的二項(xiàng)展開(kāi)式中系數(shù)最大的項(xiàng)是第幾項(xiàng)．
  組卷：77引用：1難度：0.4

  解析

• 21．設(shè)常數(shù)λ∈（0，1）．在棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，點(diǎn)Q滿足

  D

  1

  Q

  =

  λ

  D

  1

  C

  1

  ，點(diǎn)M、N分別為棱AD、AB上的動(dòng)點(diǎn)（均不與頂點(diǎn)重合），且滿足

  |

  AN

  |

  =

  λ

  |

  DM

  |

  ，記

  |

  DM

  |

  =

  a

  ．以A為原點(diǎn)，分別以

  AB

  、

  AD

  與

  A

  A

  1

  的方向?yàn)閤、y與z軸的正方向，建立如圖空間直角坐標(biāo)系．
  （1）用λ和a表示點(diǎn)M、N、Q的坐標(biāo)；
  （2）設(shè)

  a

  =

  1

  2

  ，若∠MA₁N=∠AMN，求常數(shù)λ的值；
  （3）記Q到平面MA₁N的距離為h（a）．求證：若關(guān)于a的方程

  h

  （

  a

  ）

  =

  5

  2

  λ

  在（0，1）上恰有兩個(gè)不同的解，則這兩個(gè)解中至少有一個(gè)大于

  1

  2

  ．
  組卷：47引用：1難度：0.3

  解析