蘇教版（2019）選擇性必修第一冊《第3章 圓錐曲線與方程》2023年單元測試卷（4）

一、解答題

• 1．已知在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y²=2px（p＞0）的準(zhǔn)線方程是x=-1．
  （1）求拋物線的方程；
  （2）直線l過點（4，0）與拋物線交于A、B兩點，求證：OA⊥OB．
  組卷：21引用：3難度：0.5

  解析

• 2．已知橢圓

  C

  ：

  x

  2

  a

  2

  +

  y

  2

  b

  2

  =

  1

  （

  a

  ＞

  b

  ＞

  0

  ）

  的短軸長為

  2

  3

  ，且離心率為

  1

  2

  ，圓D：x²+y²=a²+b²．
  （1）求橢圓C的方程，
  （2）點P在圓D上，F(xiàn)為橢圓右焦點，線段PF與橢圓C相交于Q，若

  PF

  =

  λ

  QF

  ，求λ的取值范圍．
  組卷：120引用：4難度：0.4

  解析

• 3．已知橢圓

  C

  ：

  x

  2

  a

  2

  +

  y

  2

  b

  2

  =

  1

  （

  a

  ＞

  b

  ＞

  0

  ）

  的離心率為

  1

  2

  ，且橢圓經(jīng)過點

  （

  1

  ，

  3

  2

  ）

  ．
  （1）求橢圓C的方程；
  （2）設(shè)P是圓x²+y²=7上任一點，由P引橢圓兩條切線PA，PB當(dāng)切線斜率存在時，求證兩條切線斜率的積為定值．
  組卷：229引用：3難度：0.6

  解析

• 4．已知A，B分別是橢圓E：

  x

  2

  a

  2

  +

  y

  2

  b

  2

  =

  1

  （a＞b＞0）的左、右頂點，C、D分別是橢圓的上、下頂點，且△ACD為等邊三角形，P是橢圓E上異于A，B的一點．
  （1）求橢圓E的離心率；
  （2）證明：直線PA與直線PB的斜率之積為定值，并求出該定值．
  組卷：39引用：3難度：0.5

  解析

一、解答題

• 13．已知拋物線C：y²=2px（p＞0）上的點到點（2，0）的最短距離為

  3

  ．
  （Ⅰ）求C的方程；
  （Ⅱ）若過點M（2，1）的直線l交C于E，F(xiàn)兩點，且

  2

  OM

  =

  OE

  +

  OF

  （O為坐標(biāo)原點），求直線l的方程．
  組卷：30引用：3難度：0.4

  解析

• 14．已知焦點在x軸上的橢圓C：

  x

  2

  a

  2

  +

  y

  2

  b

  2

  =

  1

  （

  a

  ＞

  b

  ＞

  0

  ）

  ，短軸長為

  2

  3

  ，橢圓左頂點A到左焦點F₁的距離為1．
  （1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
  （2）設(shè)橢圓的右頂點為B，過F₁的直線l與橢圓C交于點M，N，且

  S

  △

  BMN

  =

  18

  2

  7

  ，求直線l的方程．
  組卷：176引用：3難度：0.4

  解析