2023-2024學年江蘇省常州市前黃高級中學高三（上）期初數學試卷

一、單選題（每小題5分，共8小題）

• 1．已知冪函數f（x）=x^α的圖象經過點（4，2），則f（9）的值為（　?。?/div>

  A．-3

  B．3

  C．-9

  D．9
  組卷：154引用：3難度：0.7

  解析
• 2．已知平面向量

  a

  =

  （

  4

  ，

  2

  ）

  ，

  b

  =

  （

  1

  ，

  3

  ）

  ，則

  a

  在

  b

  方向上的投影向量是（　?。?/div>

  A．（1，3）

  B．（2，-1）

  C．（5，5）

  D．（4，2）
  組卷：76引用：5難度：0.7

  解析
• 3．設

  a

  ∈

  R

  ，

  z

  =

  2

  +

  ai

  i

  ，則“a＞1”是“

  |

  z

  |

  ＞

  5

  ”的（　?。?/div>

  A．充分不必要條件	B．必要不充分條件
  C．充要條件	D．既不充分也不必要條件
  組卷：264難度：0.9

  解析
• 4．在1859年的時候，德國數學家黎曼向科學院提交了題目為《論小于某值的素數個數》的論文并提出了一個命題，也就是著名的黎曼猜想．在此之前，著名數學家歐拉也曾研究過這個問題，并得到小于數字x的素數個數可以表示為π（x）≈

  x

  lnx

  的結論．若根據歐拉得出的結論，估計10⁵以內的素數的個數為（素數即質數，lge≈0.4343，計算結果取整數）（　?。?/div>

  A．2172

  B．4343

  C．869

  D．8686
  組卷：187引用：6難度：0.7

  解析
• 5．已知f（x）=lg（e^|x|+1），a=2^0.3，b=log₃2，

  c

  =

  lo

  g

  2

  1

  4

  ，則f（a）、f（b）、f（c）的大小關系為（　?。?/div>

  A．f（c）＞f（a）＞f（b）	B．f（b）＞f（a）＞f（c）
  C．f（a）＞f（b）＞f（c）	D．f（c）＞f（b）＞f（a）
  組卷：62引用：8難度：0.8

  解析
• 6．根據以往的臨床記錄，某種診斷癌癥的試驗有如下的效果：若以A表示事件“試驗反應為陽性”，以C表示事件“被診斷者患有癌癥”，則有P（A|C）=0.95，

  P

  （

  A

  |

  C

  ）

  =

  0

  .

  95

  ．現在對自然人群進行普查，設被試驗的人患有癌癥的概率為0.005，即P（C）=0.005，則P（C|A）≈（　?。?/div>

  A．0.087

  B．0.950

  C．0.050

  D．0.475
  組卷：71引用：1難度：0.8

  解析
• 7．設（1+x）³+（1+x）⁴+…+（1+x）⁵⁰=a₀+a₁x+a₂x²+…+a₅₀x⁵⁰，則a₃等于（　?。?/div>

  A．C 3 51

  B．C 4 51

  C．2C 3 50

  D．C 4 50
  組卷：80引用：2難度：0.7

  解析

四、解答題

• 21．某社區(qū)為豐富居民的業(yè)余文化生活，打算在周一到周五連續(xù)為該社區(qū)居民舉行“社區(qū)音樂會”，每晚舉行一場，但若遇到風雨天氣，則暫停舉行．根據氣象部門的天氣預報得知，在周一到周五這五天的晚上，前三天每天出現風雨天氣的概率均為p₁，后兩天每天出現風雨天氣的概率均為p₂，每天晚上是否出現風雨天氣相互獨立已知前兩天的晚上均出現風雨天氣的概率為

  1

  4

  ，且這五天至少有一天晚上出現風雨天氣的概率為

  199

  200

  ．
  （1）求該社區(qū)能舉行4場音樂會的概率；
  （2）求該社區(qū)舉行音樂會場數X的數學期望．
  組卷：361引用：15難度：0.5

  解析
• 22．已知函數f（x）=

  1

  2

  x

  +

  1

  （

  x

  ∈

  R

  ）

  ．
  （1）求證：函數f（x）是R上的減函數；
  （2）已知函數f（x）的圖像存在對稱中心（a,b）的充要條件是g（x）=f（x+a）-b的圖像關于原點中心對稱，判斷函數f（x）的圖像是否存在對稱中心，若存在，求出該對稱中心的坐標；若不存在，說明理由；
  （3）若對任意x₁∈[1，n]，都存在x₂∈[1，

  3

  2

  ]及實數m,使得f（1-mx₁）+f（x₁x₂）=1，求實數n的最大值．
  組卷：126引用：3難度：0.4

  解析