2023-2024學(xué)年河南省“頂尖計(jì)劃”高三（上）第一次聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷

一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．

• 1．設(shè)集合A={x|e^x＞2}，

  B

  =

  {

  x

  |

  x

  ＜

  9

  }

  ，則A∩B=（　　）

  A．{x|ln2＜x＜3}

  B．{x|ln2＜x＜81}

  C．{x|0≤x＜3}

  D．{x|x＞e2}
  組卷：63引用：6難度：0.7

  解析

• 2．若復(fù)數(shù)z=a+bi（a,b∈R）滿足

  z

  +

  z

  z

  -

  z

  =

  i

  ，則（　?。?/h2>

  A．a(chǎn)=0

  B．b=0

  C．a(chǎn)+b=0

  D．a(chǎn)-b=0
  組卷：33引用：4難度：0.8

  解析

• 3．已知同一平面內(nèi)的單位向量

  a

  ，

  b

  ，

  c

  滿足

  a

  +

  b

  +

  c

  2

  =

  0

  ，則|

  a

  -

  b

  |=（　?。?/h2>

  A． 5 2

  B． 2

  C． 3

  D． 15 2
  組卷：26引用：5難度：0.7

  解析

• 4．漢代初年成書的《淮南萬畢術(shù)》記載：“取大鏡高悪，算水盆于下，則見四鄰矣．”這是中國(guó)古代人民利用光的反射原理的實(shí)例，體現(xiàn)了傳統(tǒng)文化中的數(shù)學(xué)智慧．光的反射原理可概述為：反射光線、入射光線和法線都在同一平面內(nèi)；反射光線和入射光線分居在法線的兩側(cè)；反射角等于入射角．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，一條光線從點(diǎn)（-2，0）射出，經(jīng)y軸反射后，反射光線所在直線與圓x²+y²-2x-2y=0相切，則反射光線所在直線的斜率為（　　）

  A．-2

  B．-1

  C．1

  D．2
  組卷：55引用：2難度：0.7

  解析

• 5．設(shè)各項(xiàng)都為正數(shù)的無窮等差數(shù)列{a_n}的公差為d,且

  a

  2

  a

  1

  =

  2

  d

  ，則a₅的最小值為（　?。?/h2>

  A． 5 2

  B． 7 2

  C． 9 2

  D． 11 2
  組卷：94引用：2難度：0.6

  解析

• 6．已知圓錐SO的軸截面為正三角形，用平行于底面的平面截圓錐SO所得到的圓錐SO₁與圓臺(tái)O₁O的體積之比為1：7，則圓錐SO₁與圓臺(tái)O₁O的表面積之比為（　?。?/h2>

  A． 3 11

  B． 3 8

  C． 1 2

  D． 2 3
  組卷：48引用：4難度：0.7

  解析

• 7．已知雙曲線

  C

  ：

  x

  2

  a

  2

  -

  y

  2

  b

  2

  =

  1

  （

  a

  ＞

  0

  ，

  b

  ＞

  0

  ）

  的離心率為2，左、右頂點(diǎn)分別為A₁，A₂，右焦點(diǎn)為F，點(diǎn)P在C的右支上，且滿足PF⊥FA₂，則tan∠A₁PA₂=（　　）

  A． 1 2

  B．1

  C． 3

  D．2
  組卷：153引用：4難度：0.6

  解析

四、解答題：共70分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟．

• 21．小明參加一項(xiàng)答題活動(dòng)，需進(jìn)行兩輪答題，每輪均有n（n∈N^*）道題．第一輪每道題都要作答；第二輪按次序作答，每答對(duì)一題繼續(xù)答下一題，一旦答錯(cuò)或題目答完則結(jié)束答題．第一輪每道題答對(duì)得5分，否則得0分；第二輪每道題答對(duì)得20分，否則得0分．無論之前答題情況如何，小明第一輪每題答對(duì)的概率均為

  1

  3

  ．第二輪每題答對(duì)的概率均為

  2

  3

  ．設(shè)小明第一輪答題的總得分為X，第二輪答題的總得分為Y．
  （Ⅰ）若n=30，求E（X）；
  （Ⅱ）證明：當(dāng)n≥24時(shí)，E（X）＞E（Y）．
  組卷：44引用：2難度：0.4

  解析

• 22．已知拋物線E：y²=2px（p＞0）的焦點(diǎn)為F，以F為圓心作半徑為1的圓，過F且傾斜角為

  π

  3

  的直線與拋物線E交于A，B兩點(diǎn)，且

  |

  AB

  |

  =

  16

  3

  ．
  （Ⅰ）求E的方程；
  （Ⅱ）設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，T為E上一點(diǎn)，過T作圓F的兩條切線，分別交E于另外兩點(diǎn)P，Q，直線PQ分別交x軸正半軸、y軸正半軸于M，N兩點(diǎn)，求△MON面積的最小值．
  組卷：66引用：2難度：0.3

  解析