勾股定理是幾何學中的明珠,充滿著魅力.千百年來,人們對它的證明趨之若鶩,其中有著名的數(shù)學家,也有業(yè)余數(shù)學愛好者.向常春在1994年構(gòu)造發(fā)現(xiàn)了一個新的證法.證法如下:
把兩個全等的直角三角形(Rt△ACB≌Rt△DAE)如圖1放置,∠DAB=∠B=90°,AC⊥DE點E在邊AC上,現(xiàn)設Rt△ACB兩直角邊長分別為CB=b、AB=a,斜邊長為AC=c,請用a、b、c分別表示出梯形ABCD、四邊形AECD、△EBC的面積,再探究這三個圖形面積之間的關(guān)系,可得到勾股定理.
(1)請根據(jù)上述圖形的面積關(guān)系證明勾股定理;
(2)如圖2,鐵路上A、B兩點(看作直線上的兩點)相距40千米,CD為兩個村莊(看作直線上的兩點),AD⊥AB,BC⊥AB,垂足分別為A、B,AD=25千米,BC=16千米,則兩個村莊的距離為
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千米;
(3)在(2)的背景下,若AB=40千米,AD=25千米,BC=16千米,要在AB上建造一個供應站P,使得PC=PD,請用尺規(guī)作圖在圖2中作出P點的位置并求出AP的距離;
(4)借助上面的思考過程,當1<x<11時,求代數(shù)式
的最小值.