1．如圖1，已知點A（a,0），B（0，b），且a、b滿足，平行四邊形ABCD的邊AD與y軸交于點E，且E為AD的中點，雙曲線經(jīng)過C、D兩點．
（1）求k的值；
（2）點P在雙曲線上，點Q在y軸上，若以點A、B、P、Q為頂點的四邊形是平行四邊形，試求滿足要求的所有點P的坐標；
（3）以線段AB為對角線作正方形AFBH（如圖3），點T是邊AF上一動點，M是HT的中點，MN⊥HT，交AB于N，當T在AF上運動時，的值否發(fā)生改變？若改變，求出其范圍；若不改變，請求其值．并給出你的證明．

2．建筑是一門不斷演化和創(chuàng)新的藝術，從古代的大理石殿堂到現(xiàn)代的鋼鐵森林，它的魅力在于其無限的可能性．近年來，一種名為雙曲鋁單板的新興材料以其獨特的曲線和光澤，為建筑注入了新的時尚元素，同時也賦予了建筑更多的創(chuàng)意和流動性．圖2為某廣東廠家設計制造的雙曲鋁單板建筑的橫截面，可以看作由兩條曲線EG、FH（反比例函數(shù)圖象的一支）和若干線段圍成，其中四邊形ABDC與四邊形GMNH均為矩形，AB=2m,BE=2m,AC=20m,GM=10m,MN=4m,如圖2所示，取AC中點O，以點O為原點，AC所在直線為x軸建立平面直角坐標系．請回答下列問題：
（1）如圖2，求EG所在雙曲線的解析式．
（2）如圖3，為在曲面實現(xiàn)自動化操作，工程師安裝了支架EG，并加裝了始終垂直于EG的伸縮機械臂PQ用來雕刻EG所在曲面的花紋，請問點P在EG上滑動過程中，PQ最長為多少米？
（3）如圖4，為通風透氣避免潮濕，在某一時刻，打開遮光板AC，太陽光線經(jīng)點A恰好照射到點E，請求出此時線段HN上光線無法直射部分即線段KN的長．

3．如圖，已知在平面直角坐標系xOy中，一次函數(shù)y=kx+b（k≠0）的圖象經(jīng)過點A、B（-1，0），反比例函數(shù)y=的圖象也經(jīng)過點A，且點A橫坐標是2．
（1）求一次函數(shù)的解析式．
（2）點C是x軸正半軸上的一點，聯(lián)結AC，tan∠ACB=，過點C作CE⊥x軸分別交反比例函數(shù)y=和一次函數(shù)y=kx+b（k≠0）的圖象于點D、E，求點D、E的坐標．
（3）在（2）的條件下，聯(lián)結AD，一次函數(shù)y=kx+b（k≠0）的圖象上是否存在一點F使得△EAD和△ECF相似？若存在，請直接寫出點F坐標；若不存在，請說明理由．