回旋加速器的示意圖如圖所示。它由兩個(gè)鋁制D型金屬扁盒組成，兩個(gè)D形盒正中間開有一條狹縫；兩個(gè)D型盒處在勻強(qiáng)磁場中并接在高頻交變電源上。在D₁盒中心A處有粒子源，它產(chǎn)生并發(fā)出帶電粒子，經(jīng)狹縫電壓加速后，進(jìn)入D₂盒中。在磁場力的作用下運(yùn)動半個(gè)圓周后，垂直通過狹縫，再經(jīng)狹縫電壓加速；為保證粒子每次經(jīng)過狹縫都被加速，設(shè)法使交變電壓的周期與粒子在狹縫及磁場中運(yùn)動的周期一致。如此周而復(fù)始，速度越來越大，運(yùn)動半徑也越來越大，最后到達(dá)D型盒的邊緣，以最大速度被導(dǎo)出。已知某粒子所帶電荷量為q,靜止時(shí)質(zhì)量為m₀，加速時(shí)電極間電壓大小恒為U，磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度為B，D型盒的半徑為R，設(shè)狹縫很窄，粒子通過狹縫的時(shí)間可以忽略不計(jì)。設(shè)該粒子從粒子源發(fā)出時(shí)的初速度為零，不計(jì)粒子重力和粒子間的相互作用力。
（1）忽略相對論效應(yīng)，求
①交變電壓的周期T；
②粒子被加速后獲得的最大動能E_km；
（2）人們使用早期制造的回旋加速器加速帶電粒子時(shí)發(fā)現(xiàn)，粒子能量達(dá)到25～30MeV后，就很難再加速了。原因是：按照狹義相對論，粒子的質(zhì)量m隨著速度v的增加而增大（具體關(guān)系為m=

m

0

1

-

（

v

c

）

2

，c為真空中的光速），質(zhì)量的變化會導(dǎo)致其回轉(zhuǎn)周期的變化，從而破壞了交變電壓的周期與粒子在磁場中運(yùn)動周期的一致性（若將m₀換成m=

m

0

1

-

（

v

c

）

2

后，粒子在磁場中運(yùn)動的周期公式仍然成立）。已知：在高速運(yùn)動中，動能定理仍然成立，只不過物體的動能表達(dá)式需要修改為E_k=mc²-m₀c²．考慮相對論效應(yīng)后，適當(dāng)調(diào)整交變電壓的周期，可以使粒子獲得更大的動能。
①求粒子第n次通過狹縫時(shí)，交變電壓的周期T_n；（注：結(jié)果用U、n、B、m₀、q、c和π表示）
②若交變電壓的最終周期為T_m，求粒子被加速后獲得的最大動能E_km'（注：結(jié)果用Tm、B、q、m₀、c和π表示）。