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小明在做題的時(shí)候發(fā)現(xiàn)，兩個(gè)連續(xù)正整數(shù)的積的倒數(shù)可以寫成兩個(gè)式子差的形式．
觀察下面式子，完成以下問題：
1
1
×
2
=
1
-
1
2
，
1
2
×
3
=
1
2
-
1
3
，
1
3
×
4
=
1
3
-
1
4
，…
（1）請(qǐng)寫出第15個(gè)式子：
1
15
×
16
=
1
15
-
1
16
1
15
×
16
=
1
15
-
1
16
；
（2）請(qǐng)用含n的式子表示第n個(gè)式子：
1
n
（
n
+
1
）
=
1
n
-
1
n
+
1
1
n
（
n
+
1
）
=
1
n
-
1
n
+
1
；
（3）計(jì)算：
1
1
×
2
+
1
2
×
3
+
1
3
×
4
+
?
+
1
2021
×
2022
；
（4）思考：如果不是兩個(gè)連續(xù)正整數(shù)的積的倒數(shù)又如何去解決呢，請(qǐng)類比上題的方法計(jì)算：
1
1
×
3
+
1
3
×
5
+
1
5
×
7
+
?
+
1
2021
×
2023
．
【答案】
1
15
×
16
=
1
15
-
1
16
；
1
n
（
n
+
1
）
=
1
n
-
1
n
+
1
【解答】
【點(diǎn)評(píng)】
聲明：本試題解析著作權(quán)屬菁優(yōu)網(wǎng)所有，未經(jīng)書面同意，不得復(fù)制發(fā)布。
發(fā)布：2024/4/20 14:35:0組卷：130引用：2難度：0.6
相似題
  • 1．閱讀下列一組內(nèi)容，然后解答問題：
    因?yàn)椋?div id="q7rydru" class="MathJye" mathtag="math">
    1
    1
    ×
    2
    =
    1
    -
    1
    2
    ，
    1
    2
    ×
    3
    =
    1
    2
    -
    1
    3
    ，
    1
    3
    ×
    4
    =
    1
    3
    -
    1
    4
    ，…，
    1
    9
    ×
    10
    =
    1
    9
    -
    1
    10
    ，
    所以：
    1
    1
    ×
    2
    +
    1
    2
    ×
    3
    +
    1
    3
    ×
    4
    +
    …
    +
    1
    9
    ×
    10
    =
    （
    1
    -
    1
    2
    ）
    +
    （
    1
    2
    -
    1
    3
    ）
    +
    （
    1
    3
    -
    1
    4
    ）
    +
    …
    +
    （
    1
    9
    -
    1
    10
    ）

    =1-
    1
    2
    +
    1
    2
    -
    1
    3
    +
    1
    3
    -
    1
    4
    +
    …
    +
    1
    9
    -
    1
    10
    =1-
    1
    10
    =
    9
    10
    ．
    理解應(yīng)用：（1）
    1
    1
    ×
    2
    +
    1
    2
    ×
    3
    +
    1
    3
    ×
    4
    +
    …
    +
    1
    2019
    ×
    2020
    ；
    （2）遷移訓(xùn)練：
    1
    1
    ×
    3
    +
    1
    3
    ×
    5
    +
    1
    5
    ×
    7
    +
    …
    +
    1
    49
    ×
    51
    ．
發(fā)布：2024/9/28 6:0:4組卷：244引用：4難度：0.6
  • 2．觀察下列等式并回答：
    第1個(gè)等式：
    a
    1
    =
    1
    1
    ×
    3
    =
    1
    2
    ×
    （
    1
    -
    1
    3
    ）
    ；
    第2個(gè)等式：
    a
    2
    =
    1
    3
    ×
    5
    =
    1
    2
    ×
    （
    1
    3
    -
    1
    5
    ）
    ；
    第3個(gè)等式：
    a
    3
    =
    1
    5
    ×
    7
    =
    1
    2
    ×
    （
    1
    5
    -
    1
    7
    ）
    ；
    第4個(gè)等式：
    a
    4
    =
    1
    7
    ×
    9
    =
    1
    2
    ×
    （
    1
    7
    -
    1
    9
    ）
    ；
    …
    （1）按照發(fā)現(xiàn)的規(guī)律寫出第5個(gè)和第6個(gè)等式；
    （2）求a1+a2+a3+…+an的值；
    （3）直接寫出
    1
    1
    ×
    4
    +
    1
    4
    ×
    7
    +
    1
    7
    ×
    10
    +
    ?
    +
    1
    （
    n
    -
    3
    ）
    ×
    n
    的值（用n的式子表示）．
    發(fā)布：2024/9/28 11:0:2組卷：57引用：2難度：0.5
  • 3．讀一讀：式子“1+2+3+4+5+…+100”表示1開始的100個(gè)連續(xù)自然數(shù)的和．由于上述式子比較長，書寫也不方便，為了簡便起見，我們可以將“1+2+3+4+5+…+100”表示為
    100
    ∑
    n
    =
    1
    n
    ，這里“
    ∑
    ”是求和符號(hào)．例如：1+3+5+7+9+…+99，即從1開始的100以內(nèi)的連續(xù)奇數(shù)的和，可表示為
    50
    ∑
    n
    =
    1
    （
    2
    n
    -
    1
    ）
    ；又如13+23+33+43+53+63+73+83+93+103可表示為
    10
    ∑
    n
    =
    1
    n
    3
    ．通過對(duì)以上材料的閱讀，請(qǐng)解答下列問題．
    （1）2+4+6+8+10+…+100（即從2開始的100以內(nèi)的連續(xù)偶數(shù)的和）用求和符合可表示為
    ，它的計(jì)算結(jié)果是
    ；
    （2）計(jì)算
    5
    ∑
    n
    =
    1
    （
    n
    3
    -
    1
    ）
    =
    ；（填寫最后的計(jì)算結(jié)果）
    （3）計(jì)算
    k
    ∑
    n
    =
    1
    1
    n
    （
    n
    +
    1
    ）
    =
    ．（用含字母k的式子表示結(jié)果）
    發(fā)布：2024/9/28 11:0:2組卷：60引用：2難度：0.5
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