當前位置： 2023年湖南省新高考教學教研聯(lián)盟（長郡十八校）高考數(shù)學第二次聯(lián)考試卷> 試題詳情

已知橢圓E：
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=
1
（
a
＞
b
＞
0
）
經過點
（
0
，
2
）
，且離心率為
6
3
．F為橢圓E的左焦點，點P為直線l：x=3上的一點，過點P作橢圓E的兩條切線，切點分別為A，B，連接AB，AF，BF．
（1）求證：直線AB過定點M，并求出定點M的坐標；
（2）記△AFM、△BFM的面積分別為S₁和S₂，當|S₁-S₂|取最大值時，求直線AB的方程．
參考結論：點Q（x₀，y₀）為橢圓
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=
1
上一點，則過點Q的橢圓的切線方程為
x
0
x
a
2
+
y
0
y
b
2
=
1
．

【考點】直線與圓錐曲線的綜合；直線與橢圓的綜合．

【答案】見試題解答內容

【解答】

【點評】

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發(fā)布：2024/6/27 10:35:59組卷：113引用：2難度：0.5

相似題

1．已知焦點在y軸的橢圓C上、下焦點分別是F₁，F(xiàn)₂，且長軸長為4，離心率為
3
2
，直線y=mx+1與橢圓交于A、B兩點．
（1）求橢圓C的標準方程；
（2）若
OA
⊥
OB
，求m的值；
（3）已知真命題：“如果點P（x₀，y₀）在橢圓
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=1（a＞b＞0）上，那么過點P的橢圓的切線方程為
x
0
x
a
2
+
y
0
y
b
2
=1．”利用上述結論，解答下面問題：
若點P是橢圓C上除長軸端點外的任一點，過點P作斜率為k的直線l,使l與橢圓C有且只有一個公共點，設直線的PF₁，PF₂斜率分別為k₁，k₂．若k≠0，試證明k（k₁+k₂）為定值，并求出這個定值．
發(fā)布：2024/11/7 8:0:2組卷：72引用：1難度：0.1
解析
2．已知中心在原點，焦點在坐標軸上的橢圓Ω，它的離心率為
1
2
，一個焦點和拋物線y²=-4x的焦點重合，過直線l：x=4上一點M引橢圓Ω的兩條切線，切點分別是A，B．
（Ⅰ）求橢圓Ω的方程；
（Ⅱ）若在橢圓
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=
1
（
a
＞
b
＞
0
）
上的點（x₀，y₀）處的橢圓的切線方程是
x
0
x
a
2
+
y
0
y
b
2
=1．求證：直線AB恒過定點C；并求出定點C的坐標．
發(fā)布：2024/11/7 8:0:2組卷：83引用：1難度：0.1
解析
3．橢圓
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=
1
（
a
＞
b
＞
0
）
的一個焦點是F（1，0），已知橢圓短軸的兩個三等分點與一個焦點構成正三角形．
（1）求橢圓的標準方程；
（2）已知Q（x₀，y₀）為橢圓上任意一點，求以Q為切點，橢圓的切線方程．
（3）設點P為直線x=4上一動點，過P作橢圓兩條切線PA，PB，求證直線AB過定點，并求出該定點的坐標．
發(fā)布：2024/11/7 8:0:2組卷：77引用：1難度：0.1
解析

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