1．某數(shù)學(xué)活動小組在一次活動中，對一個數(shù)學(xué)問題做了如下研究：

【問題發(fā)現(xiàn)】
（1）如圖①，在等邊三角形ABC中，點(diǎn)M是BC邊上任意一點(diǎn)，連接AM，以AM為邊作等邊三角形AMN，連接CN，則∠ABC和∠ACN的數(shù)量關(guān)系為多少？
【變式探究】
（2）如圖②，在等腰三角形ABC中，AB=BC，點(diǎn)M是BC邊上任意一點(diǎn)（不含端點(diǎn)B，C），連接AM，以AM為邊作等腰三角形AMN，使∠AMN=∠ABC，AM=MN，連接CN，試探究∠ABC與∠ACN的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；
【解決問題】
（3）如圖③，在正方形ADBC中，點(diǎn)M為BC邊上一點(diǎn)，以AM為邊作正方形AMEF，點(diǎn)N為正方形AMEF的中心，連接CN，AB，AE，若正方形ADBC的邊長為8，，求正方形AMEF的邊長．

2．如圖，在四邊形ABCD中，∠A=∠ABC=90°，AB=BC=12cm,AD=10cm.點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以3cm/s的速度沿AB向點(diǎn)B勻速運(yùn)動．設(shè)運(yùn)動時間為t（s）．
（1）如圖①，連接BD、CP，當(dāng)BD⊥CP時，求t的值；
（2）如圖②，當(dāng)點(diǎn)P開始運(yùn)動時，點(diǎn)Q同時從點(diǎn)C出發(fā)，以acm/s的速度沿CB向點(diǎn)B勻速運(yùn)動，當(dāng)P、Q兩點(diǎn)中有一個點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時，另一個點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動．當(dāng)△ADP與△BQP全等時，求a和t的值；
（3）如圖③，當(dāng)（2）中的點(diǎn)Q開始運(yùn)動時，點(diǎn)M同時從點(diǎn)D出發(fā)，以1.5cm/s的速度沿DA向點(diǎn)A運(yùn)動，連接CM，交DQ于點(diǎn)E．連接AE，當(dāng)MD=AD時，S_△ADE=S_△CDE，請求出此時a的值．

3．如圖，在Rt△ABC中，∠A=90°，AC=3，AB=4，動點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿AB方向以每秒2個單位長度的速度向終點(diǎn)B運(yùn)動，點(diǎn)Q為線段AP的中點(diǎn)，過點(diǎn)P向上作PM⊥AB，且PM=3AQ，以PQ、PM為邊作矩形PQNM．設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動時間為t秒．
（1）線段MP的長為（用含t的代數(shù)式表示）．
（2）當(dāng)線段MN與邊BC有公共點(diǎn)時，求t的取值范圍．
（3）當(dāng)點(diǎn)N在△ABC內(nèi)部時，設(shè)矩形PQNM與△ABC重疊部分圖形的面積為S，求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式．
（4）當(dāng)點(diǎn)M到△ABC任意兩邊所在直線距離相等時，直接寫出此時t的值．