人類對未知事物的好奇和科學(xué)家們的不懈努力，使人類對宇宙的認(rèn)識(shí)越來越豐富。
（1）開普勒行星運(yùn)動(dòng)第三定律指出：行星繞太陽運(yùn)動(dòng)的橢圓軌道的半長軸a的三次方與它的公轉(zhuǎn)周期T的二次方成正比，即，k是一個(gè)常量。已知太陽的質(zhì)量為M。將行星繞太陽的運(yùn)動(dòng)按圓周運(yùn)動(dòng)處理，請你推導(dǎo)太陽系中該常量k的表達(dá)式，并說明影響常量k的因素。
（2）已知地球質(zhì)量為M₀，萬有引力常量為G，將地球視為半徑為R、質(zhì)量均勻分布的球體，忽略地球自轉(zhuǎn)的影響，
a.求地球的第一宇宙速度v。
b.北京時(shí)間2019年4月10日21時(shí)，由全球200多位科學(xué)家合作得到的人類首張黑洞照片面世，引起眾多天文愛好者的興趣。
查閱相關(guān)資料后知道：①黑洞具有非常強(qiáng)的引力，即使以3×10⁸m/s的速度傳播的光也不能從它的表面逃逸出去。②地球的逃逸速度是第一宇宙速度的倍，這個(gè)關(guān)系對于其他天體也是正確的。③地球質(zhì)量為6.00×10²⁴kg,引力常量G=6.67×10^-11N?m²/kg²。
請你根據(jù)以上信息，利用高中學(xué)過的知識(shí)，通過計(jì)算求出：假如地球變?yōu)楹诙?，在質(zhì)量不變的情況下，地球半徑的最大值（結(jié)果保留一位有效數(shù)字）。

【考點(diǎn)】中子星與黑洞；開普勒三大定律．

【答案】見試題解答內(nèi)容