1．如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，∠BCD=90°，AD=CD=6，BC=8，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)，以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿BC運(yùn)動(dòng)，過(guò)點(diǎn)P作PE⊥BC，交折線BA-AD于點(diǎn)E，以PE為斜邊向右作等腰直角三角形PEF，且∠F=90°，當(dāng)點(diǎn)E在線段AB上時(shí)，EP=3BP．設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒（t＞0）．
（1）當(dāng)t為何值時(shí)，點(diǎn)F恰好落在CD上？
（2）若點(diǎn)P與點(diǎn)C重合時(shí)運(yùn)動(dòng)結(jié)束，在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，設(shè)等腰直角三角形PEF與四邊形ABCD重疊部分的面積為S，求出S關(guān)于t之間的函數(shù)關(guān)系式；
（3）在（2）的條件下，當(dāng)點(diǎn)F在CD的右側(cè)時(shí)，是否存在某一時(shí)刻，使得重疊部分的面積S與四邊形ABCD的面積比為1：8？若存在，直接寫出t的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

2．如圖，正方形OEFG繞著邊長(zhǎng)為a的正方形ABCD的對(duì)角線的交點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)，邊OE、OG分別交邊AD、AB于點(diǎn)M、N．
（1）求證：OM=ON；
（2）問(wèn)四邊形OMAN的面積是否隨著a的變化而變化？若不變，請(qǐng)用a的代數(shù)式表示出來(lái)，若變化，請(qǐng)說(shuō)明理由；
（3）試探究PA、PN、BN三條線段之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系，并寫出推理過(guò)程．

3．△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，D為△ABC外一點(diǎn)．
【探究發(fā)現(xiàn)】（1）如圖1，點(diǎn)D在邊AB下方，∠ADB=90°．學(xué)校的數(shù)學(xué)興趣小組的同學(xué)們嘗試探究此時(shí)線段AD、BD、CD之間的數(shù)量關(guān)系．他們的思路是這樣的，作EC⊥CD，取EC=CD，連接BE．易證△ADC≌△BEC．通過(guò)等量代換得到線段之間的數(shù)量關(guān)系．請(qǐng)根據(jù)同學(xué)們的思路，寫出△ADC≌△BEC的證明過(guò)程．
【遷移運(yùn)用】（2）如圖2，點(diǎn)D在邊AB上方，∠ADB=90°．猜想線段AD、BD、BC之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．
【延伸拓展】（3）如圖3，在四邊形ABCD中，∠ABC=∠BAC=∠ADC=45°，若AD=2，CD=4，請(qǐng)直接寫出BD的值．